Question

5．如图，正方形ABCD的边长为2，把△BCD绕点B逆时针旋转45°得△BGE，则△BGE与正方形ABCD的重叠部分四边形（图中阴影部分）的面积是4$\sqrt{2}$-4．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得BC=2，BD=$\sqrt{2}$BC=2$\sqrt{2}$，∠ADB=∠CBD=45°，∠C=90°，再利用旋转的性质得∠CBG=45°，∠EGB=∠DCB=90°，BG=BC=2，则可判断点G在BD上，所以DG=BD-BG=2$\sqrt{2}$-2，易得等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质，利用S_阴影部分=S_△ABD-S_△FGD进行计算．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=2，BD=$\sqrt{2}$BC=2$\sqrt{2}$，∠ADB=∠CBD=45°，∠C=90°，
∵△BCD绕点B逆时针旋转45°得△BGE，
∴∠CBG=45°，∠EGB=∠DCB=90°，BG=BC=2，
∴点G在BD上，
∴DG=BD-BG=2$\sqrt{2}$-2，
∵△DFG为等腰直角三角形，
∴FG=DG=2$\sqrt{2}$-2，
∴S_阴影部分=S_△ABD-S_△FGD=$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{2}$-2）²=4$\sqrt{2}$-4．
故答案为4$\sqrt{2}$-4．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．