Question

14．已知抛物线的解析式为y=x²+（2m-1）x+m²-m
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线经过点（0，2），试求其与x轴两交点之间的距离．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值，然后根据△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点得到结论；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，把（0，2）代入y=x²+（2m-1）x+m²-m可求得m₁=2，m₂=-1，当m=2时，抛物线解析式为y=x²+3x+2，根据抛物线与x轴交点问题，通过解方程x²+3x+2=0得到抛物与x轴两交点坐标为（-2，0），（-1，0），于是可得抛物线与x轴两交点之间的距离为-1-（-2）=1；当m=-1时，抛物线解析式为y=x²-3x+2，用同样方法可得抛物线与x轴两交点之间的距离为1．

解答 （1）证明：∴△=（2m-1）²-4（m²-m）
=1＞0，
∴此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）解：把（0，2）代入y=x²+（2m-1）x+m²-m得m²-m=2，解得m₁=2，m₂=-1，
当m=2时，抛物线解析式为y=x²+3x+2，
令y=0，则x²+3x+2=0，解得x₁=-2，x₂=-1，
所以抛物与x轴两交点坐标为（-2，0），（-1，0），则抛物线与x轴两交点之间的距离为-1-（-2）=1；
当m=-1时，抛物线解析式为y=x²-3x+2，
令y=0，则x²-3x+2=0，解得x₁=2，x₂=1，
所以抛物与x轴两交点坐标为（2，0），（1，0），则抛物线与x轴两交点之间的距离为2-1=1．
综上所述，抛物线与x轴两交点之间的距离为1．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．