Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①

AG

AB

=

FG

FB

；②点F是GE的中点；③AF=

2

3

AB；④S_△ABF=S_△ACD，其中正确的结论序号是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、①④

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC，继而证得

AG

AB

=

FG

FB

正确；由点D是AB的中点，易证得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=

1

2

AB，继而可得FG=

1

2

BF；即可得AF=

1

3

AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=

2

AB，即可求得AF=

2

3

AB；则可得S_△ACD=

1

2

S_△ABC，S_△ABF=

1

3

S_△ABC．

解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴

AG

CB

=

FG

FB

，
∵BA=BC，
∴

AG

AB

=

FG

FB

，
故①正确；
∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，
∴∠DBE=∠BCD，
∵AB=CB，点D是AB的中点，
∴BD=

1

2

AB=

1

2

CB，
∵tan∠BCD=

BD

CB

=

1

2

，
∴在Rt△ABG中，tan∠DBE=

AG

AB

=

1

2

，
∵

AG

AB

=

FG

FB

=

1

2

，
∴FG=

1

2

FB，
在△AFG和△AFD中
∵

AG=AD ∠GAF=∠FAD=45° AF=AF

，
∴△AFG≌△AFD（SAS），
∴FG=FD，
∵∠AFB＞90°，
∴FD≠AD=BD
∴EF≠BE，
∴GE≠BF，
∴点F不是GE的中点．
故②错误；
∵△AFG∽△CFB，
∴AF：CF=AG：BC=1：2，
∴AF=

1

3

AC，
∵AC=

2

AB，
∴AF=

2

3

AB，
故③正确；
∵BD=

1

2

AB，AF=

1

3

AC，
∴S_△ADF=S_△BDF，S_△ADF=

1

3

S_△ACD，
S_△ACD=

1

2

S_△ABC，S_△ABF=

1

3

S_△ABC，
∴S_△ABF≠S_△ACD，
故④错误．
故选B．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是证得△AFG∽△CFB，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．