Question

17．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，它们的交点P给在线段CD上，下面的结论：①AP⊥BP；②点P到直线AD、BC的距离相等；③PD=PC．其中正确的结论有（　　）

• A． ①②③
• B． ①②
• C． 仅①
• D． 仅②

Answer 1

分析 作PE⊥AD交AD的延长线于E，PF⊥BC于F，PG⊥AB于G，根据角平分线的定义和平行线的性质证明①正确；根据角平分线的性质证明②正确；运用全等三角形的判定定理和性质定理证明③正确．

解答 解：作PE⊥AD交AD的延长线于E，PF⊥BC于F，PG⊥AB于G，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，
∴∠PAB=$\frac{1}{2}$∠DAB，∠PBA=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=90°，
∴∠APB=90°，即AP⊥BP，①正确；
∵AP平分∠DAB，PE⊥AD，PG⊥AB，
∴PE=PG，
同理，PF=PG，
∴PE=PF，即点P到直线AD、BC的距离相等，②正确；
由题意得，△DPE≌△CPF，
∴PD=PC，③正确，
故选：A．

点评 本题考查的是角平分线的定义和性质以及平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．