Question

5．如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：$\sqrt{3}$，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25m，与亭子距离CE=20m，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°．求：
（1）点E到AB的距离；
（2）楼房AB的高．

Answer 1

分析 （1）过点E作EG⊥AB于G，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于F，根据矩形的性质得到EF=BG，FB=EG，在Rt△ECF中，tan∠ECF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得∠ECF=30°，解直角三角形即可得到结论；
（2）根据小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求得∠FAE=∠FEA=45°，于是得到AF=EF=20+10$\sqrt{3}$（m），根据得到结论．

解答 解：（1）过点E作EG⊥AB于G，
过点E作EF⊥BC交BC的延长线于F，
∵四边形EFBG是矩形，
∴EF=BG，FB=EG，
∵在Rt△ECF中，tan∠ECF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ECF=30°，
∵CE=20 m，
∴EF=10m，CF=10$\sqrt{3}$m，
∵BC=25m，
∴BF=BC+CF=25+10$\sqrt{3}$（m），
∴EG=25+10$\sqrt{3}$ （m）
∴点E到AB的距离是（25+10$\sqrt{3}$ ）m；

（2）∵小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，
∴∠FAE=∠FEA=45°
∴AF=EF=20+10$\sqrt{3}$（m），
∵FB=EG=10 m，
∴AB=AF+FB=20+10$\sqrt{3}$+10=30+10$\sqrt{3}$（m）
∴楼房AB的高是（30+10$\sqrt{3}$）m．

点评 本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．