Question

13．如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为AD上的一点，连接BE，点G在BE上，连结OG并延长交AD于点F，若∠FGE=45°．
（1）求证：AB²=BG•BE；
（2）连接AG，试判断AG与BE有怎样的位置关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△GBO∽△DBE得BO•BD=BG•BE，由△ABO∽△DBA得BO•BD=•AB²，由此即可证明．
（2）由△ABG∽△EBA得∠BGA=∠BAE=90即可证明．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠DAB=90°，∠ADB=∠BDC=45°，
∵∠FGE=∠BGO=45°，
∴∠BGO=∠BDE，∵∠GBO=∠EBD，
∴△GBO∽△DBE，
∴$\frac{BG}{BD}=\frac{BO}{BE}$，
∴BO•BD=BG•BE，
∵∠ABO=∠ABD，∠BOA=∠BAD=90°，
∴△ABO∽△DBA，
∴$\frac{BO}{BA}=\frac{BA}{BD}$，
∴BO•BD=•AB²，
∴AB²=BG•BE．
（2）结论：AG⊥BE，理由：证明：∵AB²=BG•BE，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{BG}{AB}$，∵∠ABG=∠ABE，
∴△ABG∽△EBA，
∴∠BGA=∠BAE=90°，
∴AG⊥BE．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解决问题的关键是寻找相似三角形，转化为边的关系，本题需要两次相似三角形，有点难度，本题还提供了一种证明直角的思路，就是利用相似三角形的对应角相等证明．