题目内容
12．
附加题今年是农历羊年．如图所示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2、3、4、L，和2′、3′、4′、L，依此类推．
（1）探索正方形1与正方形2（或与正方形2′）边长的数量关系？正方形2与正方形3（或与正方形3′）边长的数量关系？…它们的数量关系有怎样的规律性？
（2）正方形1与正方形n（或与正方形n′）边长的数量上有何关系？若正方形1的边长为a，则正方形n（或与正方形n′）边长该如何表示？
（3）若正方形7的边长为1cm，则正方形1的边长多长？
分析 （1）设正方形2的边长为x，正方形1的边长为a，由勾股定理得出x2+x2=a2，求出即可；
（2）根据（1）中求出的结果即可得出答案；
（3）根据得出的规律即可求出答案．
解答 解：（1）设正方形2的边长为x，正方形1的边长为a，
则由勾股定理得：x2+x2=a2，
解得：a=$\sqrt{2}$x，
即正方形1的边长是正方形2（或与正方形2′）边长的$\sqrt{2}$倍；
同理正方形2的边长是正方形3（或与正方形3′）边长的$\sqrt{2}$倍；
正方形1的边长是正方形2（或与正方形2′）边长的$\sqrt{2}$倍；
所以正方形1的边长是正方形n（或与正方形n′）边长的（$\sqrt{2}$）n-1倍；
（2）正方形1与正方形n（或与正方形n′）边长的数量上的关系是：正方形1的边长是正方形n（或与正方形n′）边长的（$\sqrt{2}$）n-1倍，
正方形1的边长为a，则正方形n（或与正方形n′）边长表示为$\frac{a}{（\sqrt{2}）^{n-1}}$；
（3）∵正方形1的边长是正方形n（或与正方形n′）边长的（$\sqrt{2}$）n-1倍；
∴当正方形7的边长为1cm时，正方形1的边长为1×（$\sqrt{2}$）7-1=8（cm）．
点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是能根据求出的结果得出规律，注意：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．
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