Question

19．观察以下式子的规律：
①1×$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$；
②$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；
③$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；
…
（1）根据规律可知，$\frac{1}{99}$×$\frac{1}{100}$=$\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$；
（2）根据规律可知，第n个式子用等式表示为$\frac{1}{n}$×$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（3）计算：1×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$×$\frac{1}{2017}$；
（4）计算：$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$$+\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{2015×2017}$．

Answer 1

分析 （1）由题中规律可直接的出；
（2）根据以上规律可得；
（3）将原式根据规律可得1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$，再两两抵消即可得；
（4）将原式根据规律变形为2×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2017}$），计算可得．

解答 解：（1）根据已知规律知，$\frac{1}{99}$×$\frac{1}{100}$=$\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$，
故答案为：$\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$；

（2）根据规律可知，第n个式子用等式表示为$\frac{1}{n}$×$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
故答案为：$\frac{1}{n}$×$\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；

（3）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$
=1-$\frac{1}{2017}$
=$\frac{2016}{2017}$；
（4）原式=2×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2017}$）
=2×（1-$\frac{1}{2017}$）
=2×$\frac{2016}{2017}$
=$\frac{4032}{2017}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律，从题中得出规律并灵活运用是解题的关键．