Question

9．已知：如图，线段AB=8，以A为圆心，5为半径作圆A，点C在⊙A上，过点C作CD∥AB交⊙A于点D（点D在C右侧），联结BC、AD．
（1）若CD=6，求四边形ABCD的面积；
（2）设CD=x，BC=y，求y与x的关系式及x的取值范围；
（3）设BC的中点为M，AD的中点为N，MN∥CD，线段MN交⊙A于点E，联结CE，当CD取何值时，CE∥AD．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥CD于H，如图1，根据垂径定理得到CH=DH=3，再利用勾股定理计算出AH，然后根据梯形的面积公式求解；
（2）作CP⊥AB于P，连接AC，如图1，根据垂径定理得CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$x，易得四边形AHCP为矩形，则AP=CH=$\frac{1}{2}$x，所以BP=AB-AP=8-$\frac{1}{2}$x，于是利用勾股定理可表示出CP²=25-$\frac{1}{4}$x²，然后在Rt△BPC中利用勾股定理可表示出y与x的关系式；
（3）作AH⊥CD于H，交MN于点F，连结AE，如图2，先证明四边形CEND为平行四边形得到DC=NE，设CD=x，则NE=x，再说明FN为△AHD的中位线得到FN=$\frac{1}{2}$DH=$\frac{1}{4}$x，则EF=$\frac{3}{4}$x，接着利用勾股定理得到AE²-EF²=AN²-NF²，即5²-（$\frac{3}{4}$x）²=（$\frac{5}{2}$）²-（$\frac{1}{4}$x）²，然后解方程求出x即可．

解答 解：（1）作AH⊥CD于H，如图1，则CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×6=3，
在Rt△AHD中，∵AD=5，DH=3，
∴AH=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$（CD+AB）•AH=$\frac{1}{2}$×（6+8）×4=28；
（2）作CP⊥AB于P，连接AC，如图1，
∵AH⊥CD，
∴CH=DH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$x，
易得四边形AHCP为矩形，
∴AP=CH=$\frac{1}{2}$x，
∴BP=AB-AP=8-$\frac{1}{2}$x，
在Rt△PAC中，∵AC²=AP²+CP²，
∴CP²=25-$\frac{1}{4}$x²，
在Rt△BPC中，∵BC²=BP²+CP²，
∴y²=（8-$\frac{1}{2}$x）²+25-$\frac{1}{4}$x²=89-8x，
∴y=$\sqrt{89-8x}$（0＜x＜10）；
（3）作AH⊥CD于H，交MN于点F，连结AE，如图2，
∵MN∥CD，CE∥AD，
∴四边形CEND为平行四边形，
∴DC=NE，
设CD=x，则NE=x，
∵FN∥CD，N点为AD的中点，
∴FN为△AHD的中位线，
∴FN=$\frac{1}{2}$DH=$\frac{1}{4}$x，
∴EF=x-$\frac{1}{4}$x=$\frac{3}{4}$x，
在Rt△AEF中，AF²=AE²-EF²，
在Rt△AFN中，AF²=AN²-NF²，
∴AE²-EF²=AN²-NF²，即5²-（$\frac{3}{4}$x）²=（$\frac{5}{2}$）²-（$\frac{1}{4}$x）²，解得x=$\frac{5\sqrt{6}}{2}$，
即当CD为$\frac{5\sqrt{6}}{2}$时，CE∥AD．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和平行四边形的判定与性质；会利用勾股定理计算线段的长和表示线段之间的关系．过圆心作弦的垂线段和作梯形的高为常见的辅助线．