Question

12．如图所示，正比例函数y=$\frac{1}{2}$x的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的图象交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且点B的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小．

Answer 1

分析 （1）先求出点A的坐标，然后将点A的坐标代入反比例函数的解析式中即可求出k的值．
（2）求出点A关于x轴的对称点C，然后连接BC交于x轴于点P，求出直线BC的解析式后即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）设点A（x，y）
∵△OAM的面积为1，
∴$\frac{1}{2}$xy=1，
∵y=$\frac{1}{2}$x，
∴解得：x=±2，
∵x＞0，
∴y=1，
∴点A（2，1），
将点A的坐标代入y=$\frac{k}{x}$，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{2}{x}$，
（2）将x=1代入y=$\frac{2}{x}$，
∴y=2，
∴B（1，2），
设点A关于x轴的对称点为C，连接BC交x轴于点P，
∴点C（2，-1），
设直线BC的解析式为：y=mx+n，
将点B（1，2）和C（2，-1）代入y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=m+n}\\{-1=2m+n}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=5}\end{array}\right.$
∴直线BC的解析式为：y=-3x+5
令y=0，
∴x=$\frac{5}{3}$
∴当点P（$\frac{5}{3}$，0）时，此时PA+PB最小．

点评 本题考查一次函数与反比例函数的综合问题，解题的关键是熟练运用解方程，待定系数法等知识，本题属于中等题型．