Question

5．已知一次函数y=ax+b（a≠0）的图象经过A（3，0），B（0，3）两点．
（1）求a，b的值；
（2）在线段AB上任取一点P（x，y），过点P分别作x轴与y轴的垂线段，垂足分别为M，N，求矩形OMPN的面积S，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）因为一次函数y=ax+b（a≠0）的图象经过A（3，0），B（0，3）两点，根据待定系数法可求a，b的值；
（2）因为四边形OMPN是矩形，点P在直线y=-x+3上，PN=t，所以P（t，-t+3），即PM=-t+3，而S=PN•PM，由此即可得到S与t的函数关系式，再配方可求S的最大值．

解答 解：（1）∵一次函数y=ax+b（a≠0）的图象经过A（3，0），B（0，3）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．

（2）∵四边形OMPN是矩形，
∵PN⊥y轴，PM⊥x轴，
∵点P在直线y=-x+3上，PN=t，
∴P（t，-t+3），
∴PM=-t+3，
∴S=t（-t+3）=-（t-1.5）²+2.25，
故S的最大值是2.25．

点评 此题考查了二次函数的应用，一次函数图象上点的坐标特征，解决本题这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．