Question

8．已知点E为⊙O内任意一点，AB为过点E的任意一点弦，CD为过点E的另外一条弦，
（1）求证：AE•BE=CE•DE．
（2）求证：AE•BE是一个定值．

Answer 1

分析 （1）根据同弧所对的圆周角相等，可证明△AEC∽△DEB，由相似三角形的性质可解．
（2）利用（1）中的结论可知，AE•EB=EM•EN=（r+oE）（r-OE）=r²-OE²，由此只要说明OE，r是定值即可．

解答 证明：（1）∵∠AEC=∠DEB，∠CAE=∠BDE，
∴△AEC∽△DEB．，
∴$\frac{AE}{DE}$=$\frac{CE}{BE}$
∴AE•BE=CE•DE．

（2）过点E作直径MN，设半径为r，
由（1）可知，AE•EB=EM•EN=（r+oE）（r-OE）=r²-OE²，
∵点E是定点，
∴OE是定值，∵r也是定值，
∴r²-OE²是定值，
∴AE•BE是一个定值．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．