Question

4．如图，D为锐角∠ABC内一点，点M在射线BA上，点N在射线BC上，且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°，求证：BD平分∠ABC．

Answer 1

分析 在AB上截取ME=BN，证得△BND≌△EMD，进而证得∠DBN=∠MED，BD=DE，从而证得BD平分∠ABC．

解答 证明：在AB上截取ME=BN，如图所示：
∵∠BMD+∠DME=180°，∠BMD+∠BND=180°，
∴∠DME=∠BND，
在△BND与△EMD中，$\left\{\begin{array}{l}{DN=DM}\\{∠BND=∠DME}\\{BN=ME}\end{array}\right.$，
∴△BND≌△EMD（SAS），
∴∠DBN=∠MED，BD=DE，
∴∠MBD=∠MED，
∴∠MBD=∠DBN，
∴BD平分∠ABC．

点评 本题主要考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质；证明三角形全等得出对应角相等是解决问题的关键．