Question

14．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于E，延长CE交BA的延长线于点F．
求证：BD=2CE．

Answer 1

分析 首先可证明△ADB≌△AFC，可知BD=CF，只要证明BC=BF，由等腰三角形的性质即可证明BD=2CE．

解答 证明：（1）如图，
∵∠BAC=90°，
∴∠2+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠ACF=∠2，
在△ABF和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠BAD=90°}\\{∠ACF=∠2}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ABD，
∴BD=CF，
∵BE⊥CF，
∴∠BEC=∠BEF=90°，
∵∠1+∠BCE=90°，∠2+∠F=90°，
∴∠BCF=∠F，
∴BC=BF，
∵BE⊥CF，
∴CE=EF，
∴BD=2CE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的对应边相等解决问题，属于中考常考题型．