Question

2．在△ABC中，AC=2$\sqrt{5}$，点D为直线AB上一点，且AB=3BD，直线CD与直线BC所成锐角的正切值为$\frac{1}{2}$，并且CD⊥AC，则BC的长为$\frac{5}{2}$或5．

Answer 1

分析 如图1中，当点D在AB的延长线上时，作BE⊥CD垂足为E，先求出BE，EC，在RT△BCE中利用勾股定理即可解决，如图2中，当点D在线段AB上时，作BE⊥CD于E，方法类似第一种情形．

解答 解：如图1中，当点D在AB的延长线上时，作BE⊥CD垂足为E，
∵AC⊥CD，
∴AC∥BE，
∴$\frac{BE}{AC}$=$\frac{DB}{DA}$=$\frac{1}{4}$，
∵$AC=2\sqrt{5}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{5}$，
∵tan$∠BCE=\frac{1}{2}$，
∴EC=2BE=$\sqrt{5}$，
∴BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
如图2中，当点D在线段AB上时，
作BE⊥CD于E，
∵AC∥BE，AC=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{BE}{AC}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴BE=$\sqrt{5}$，
∵tan∠BCE=$\frac{1}{2}$，
∴EC=2BE=2$\sqrt{5}$，
∴BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=5．
故答案为$\frac{5}{2}$或5．

点评 本题考查平行线的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线，利用平行线的性质解决问题，属于中考常考题型．