Question

2．已知直线y=-$\frac{1}{2}$x+2分别交x、y轴于点A、B，点C为线段OA的中点，动点P从坐标原点出发，以2个单位长度/秒的速度向终点A运动，动点Q从点C出发，以$\sqrt{2}$个单位长度/秒的速度向终点B运动．过点Q作QM∥AB交x轴于点M，动点P、Q同时出发，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动，设点P运动的时间为t秒，PM的长为y个单位长度．
（1）∠BCO=45°°；
（2）求y关于t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）是否存在时间t，使得以PC为直径的⊙D与直线QM相切？若存在，求t的值；不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先分别求得点A和点B的坐标，从而得到点C的坐标，从而得到OB=OC，于是可求得∠BCO的度数；
（2）先由相似三角形的性质得到CM的长，然后依据PM=CO+CM-OP可求得y与t的函数关系式；
（3）当点P在点C的左边时，可求得DM=1，由tan∠NMD=$\frac{1}{2}$，可求得DN=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，然后可求得DC=1-t，从而可求得t的值；当点P在点C的右侧时，可求得DC=t-1，DN=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，从而可求得t的值．

解答 解：（1）∵令y=0得-$\frac{1}{2}$x+2=0，解得：x=4，
∴A（0，4）．
∴OA=4．
∵点C为线段OA的中点，
∴OC=2．
∵令x=0得：y=2，
∴B（0，2）．
∴OB=2．
∴OB=OC．
又∵∠BOC=90°，
∴∠BCO=45°．
故答案为：45．
（2）如图1所示：

∵OB=CO=2，∠BOC=90°，
∴BC=$\sqrt{2}$OB=2$\sqrt{2}$．
∵OA=4，OC=2，
∴AC=2．
设点P和点Q的运动时间为t，则OP=2t，QP=$\sqrt{2}$t．
∵QM∥AB，
∴$\frac{CQ}{BC}=\frac{CM}{AC}$，即$\frac{\sqrt{2}t}{2\sqrt{2}}=\frac{CM}{2}$，解得CM=t．
∴PM=CO+CM-OP=2+t-2t=2-t（0≤t≤2）．
∴y与t的函数关系是为y=2-t（0≤t≤2）．
（3）如图2所示：设N为切线，连接DN．

∵OP=2t，OC=2，
∴PC=2-2t．
∴PD=DC=1-t．
∴DM=PM-PD=2-t-（1-t）=1．
∵MQ是圆D的切线，
∴DN⊥QM．
∵OB=2，OA=4，
∴tan∠BAO=$\frac{1}{2}$．
∵QM∥AB，
∴tan∠NMP=$\frac{1}{2}$．
∴DN=$\frac{\sqrt{5}}{5}$DM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴1-t=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，解得：t=1$-\frac{\sqrt{5}}{5}$．
如图3所示：设N为切线，连接DN．

∵OP=2t，OC=2，
∴PC=2t-2．
∴DC=DP=t-1．
∴DM=t-1+2-t=1．
∴DN=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴t-1=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，解得：t=1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
综上所述，当t=1-$\frac{\sqrt{5}}{5}$或t=1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$时，以PC为直径的⊙D与直线QM相切．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数图象上点的坐标与函数解析式的关系、等腰直角三角形的判定、切线的性质、锐角三角函数的定义、相似三角形的性质和判定，求得DM、DN、CD的长是解题的关键．