Question

11．阅读理解：
我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．
例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．
问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM交EF于点P，那么动点P为线段AM中点．
理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，
由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点．
由此你得到动点P的运动轨迹是：线段EF．
知识应用：
如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长．
拓展提高：
如图3，P为线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），在线段AB的同侧分别作等边△APC和等边△PBD，连结AD、BC，交点为Q．
（1）求∠AQB的度数；
（2）若AB=6，求动点Q运动轨迹的长．

Answer 1

分析 阅读理解：根据轨迹的定义可知，动点P的运动轨迹是线段EF．
知识应用：如图1中，作△ABC的中位线MN，作EG∥AC交NM的延长线于G，EF与MN交于点Q′，△GQ′E≌△NQ′F，推出Q、Q′重合即可解决问题．
拓展提高：如图2中，（1）只要证明△APD≌△CPB，推出∠DQG=∠BPG=60°结论解决问题．（2）由（1）可知点P的运动轨迹是$\widehat{AB}$，设弧AB所在圆的圆心为O，Z 圆上任意取一点M，连接AM，BM，则∠M=60°，作OH⊥AB于H，则AH=BH=3，OH=$\sqrt{3}$，OB=2$\sqrt{3}$，利用弧长公式即可解决．

解答 阅读理解：根据轨迹的定义可知，动点P的运动轨迹是线段EF．
故答案为线段EF．

知识应用：如图1中，作△ABC的中位线MN，作EG∥AC交NM的延长线于G，EF与MN交于点Q′

∵△ABC是等边三角形，MN是中位线，
∴AM=BM=AN=CN，
∵AF=BE，
∴EM=FN，
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B=∠GME=60°，
∵∠A=∠GEM=60°，
∴△GEM是等边三角形，
∴EM=EG=FN，
在△GQ′E和△NQ′F中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GQ′E=∠NQ′F}\\{∠G=∠FNQ′}\\{GE=FN}\end{array}\right.$，
∴△GQ′E≌△NQ′F，
∴EQ′=FQ′，
∵EQ=QF，
′点Q、Q′重合，
∴点Q在线段MN上，
∴段EF中点Q的运动轨迹是线段MN，
MN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4．
∴线段EF中点Q的运动轨迹的长为4．

拓展提高：如图2中，

（1）∵△APC，△PBD都是等边三角形，
∴AP=PC，PD=PB，∠APC=∠DPB=60°，
∴∠APD=∠CPB，
在△APD和△CPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=PC}\\{∠APD=∠CPB}\\{DP=BP}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPB，
∴∠ADP=∠CBP，设BC与PD交于点G，
∵∠QGD=∠PGB，
∴∠DQG=∠BPG=60°，
∴∠AQB=180°-∠DQG=120°
（2）由（1）可知∠AQB=120°是定值，
所以点Q的运动轨迹是$\widehat{AB}$，设弧AB所在圆的圆心为O，在圆上任意取一点M，连接AM，BM，
则∠M=60°，
∴∠AOB=2∠M=120°，作OH⊥AB于H，则AH=BH=3，OH=$\sqrt{3}$，OB=2$\sqrt{3}$，
∴弧AB的长=$\frac{120°×π×2\sqrt{3}}{180°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$π．
∴动点Q运动轨迹的长$\frac{4\sqrt{3}}{3}$π．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、圆的有关性质、弧长公式等知识，解题的关键是理解轨迹的意义，学会添加常用辅助线，学会探究找到轨迹的方法，属于中考压轴题．