Question

20．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，PC切⊙O于C，AE⊥PC交PC的延长线于E，AE交⊙O于D，PC与AB的延长线相交于点P，连接AC、BC．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若PB：PC=1：2，PB=4，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）先AE∥OC，然后依据平行线的性质可得到∠EAC=∠ACO．，接下来由∠ACO=∠AOC，可证明∠EAC=∠OAC；
（2）先证明∠PCB=∠PAC，从而可证明△PCA∽△PBC，依据相似三角形的性质可求得PA的长，最后依据AB=PA-PB求解即可．

解答 解：（1）如图所示：连结OC．

∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥EP．
又∵AE⊥PC，
∴AE∥OC．
∴∠EAC=∠ACO．
又∵∠ACO=∠AOC，
∴∠EAC=∠OAC．
∴AC平分∠BAD；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC．
∵∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠PCB=∠PAC．
∵∠P=∠P，
∴△PCA∽△PBC，
∴$\frac{PC}{PB}$=$\frac{PA}{PC}$，
∴PA=$\frac{P{C}^{2}}{PB}$=16．
∴AB=PA-PB=16-4=12．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、切线的性质、圆周角定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键．