Question

5．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=16，BC=18．连接BD，AE⊥BD，垂足为点E．
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）求线段BE的长．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质可知∠ABD=∠ADB，由AD∥BC可知，∠ADB=∠DBC，由此可得∠ABD=∠DBC，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质可知，BD=2BE，根据△ABE∽△DBC，利用相似比求BE即可．

解答 （1）证明：∵AB=AD=16，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠C=90°，
∴△ABE∽△DBC；
（2）解：∵AB=AD，又AE⊥BD，
∴BE=DE，
∴BD=2BE，
由△ABE∽△DBC，
得$\frac{AB}{BD}=\frac{BE}{BC}$，
∵AB=AD=16，BC=18，
∴$\frac{16}{2BE}=\frac{BE}{18}$，
解得：BE=12．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；证明三角形相似是解决问题的关键．