Question

15．如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，D为BC的中点，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=13，BC=10，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）证明OD∥AC；由DE⊥AC，得到DE⊥AC，即可解决问题．
（2）证明AC=AB=13；证明△CDE∽△CAD，得到$\frac{CE}{DC}$=$\frac{DC}{AC}$，求出CE的长即可解决问题．

解答 （1）证明：连接OD
∵D为BC的中点，O为AB的中点，
∴OD∥AC；
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是圆O的切线．

（2）解：连接 AD
∵AB是直径，
∴AD⊥BC；
∵D为BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AC=AB=13；
∵∠C=∠C，∠DEC=∠ADC=90°，
∴△CDE∽△CAD，
∴$\frac{EC}{CD}$=$\frac{DC}{AC}$，而AC=AB=13，CD=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴CE=$\frac{25}{13}$．

点评 此题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是准确找出切线的判定方法，灵活运用三角形的中位线定理、相似三角形的判定及其性质等几何知识点来分析、判断、解答．