Question

5．如图（1），沿平行四边形ABCD的对角线AC剪开，得到△ABC₁和△ADC₂，并将△ADC₂绕点A旋转至AC₂∥BC₁（如图（2））．
（1）求证：AC₂平分∠C₁AD；
（2）若AC₁∥DC₂，问图（1）中的四边形ABCD是何种特殊的平行四边形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出△ABC₁≌△ADC₂，得出∠BC₁ A=∠DAC₂，由平行线的性质得出∠BC₁ A=∠C₁A C₂，证出∠DAC₂=∠C₁ A C₂即可；
（2）由平行线的性质得出∠C₁ AC₂=∠AC₂ D，由∠DAC₂=∠C₁ A C₂，得出∠AC₂ D=∠C₂ AD，证出AD=C₂ D，由平行四边形的性质得出C₂ D=AB，得出AD=AB，即可得出结论．

解答 （1）证明：由平行四边形的性质得：△ABC₁≌△ADC₂，
∴∠BC₁ A=∠DAC₂，
∵AC₂∥BC₁，
∴∠BC₁ A=∠C₁A C₂，
∴∠DAC₂=∠C₁ A C₂，
∴AC₂平分∠C₁AD；
（2）解：图（1）中的四边形ABCD是菱形；理由如下：
∵AC₁∥DC₂，
∴∠C₁ AC₂=∠AC₂ D，
∵∠DAC₂=∠C₁ A C₂，
∴∠AC₂ D=∠C₂ AD，
∴AD=C₂ D，
∵C₂ D=AB，
∴AD=AB，
∴图（1）中的四边形ABCD是菱形．

点评 本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，弄清角之间的关系是解决问题的关键．