Question

14．如图，二次函数y=ax²+2x+c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：
①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动，同时，动点N以每秒$\frac{{\sqrt{13}}}{5}$个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动，问：在运动过程中，当运动时间t为何值时，△DMN的面积最大，并求出这个最大值．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=ax²+2x+c即可得到结果；
（2）在y=-x²+2x+3中，令y=0，则-x²+2x+3=0，得到B（3，0），由已知条件得直线BC的解析式为y=-x+3，由于AD∥BC，设直线AD的解析式为y=-x+b，即可得到结论；
（3）①由BC∥AD，得到∠DAB=∠CBA，全等只要当$\frac{BC}{AD}=\frac{PB}{AB}$或$\frac{BC}{AB}=\frac{PB}{AD}$时，△PBC∽△ABD，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=-x-1}\end{array}\right.$得D（4，-5），求出AD=$5\sqrt{2}$，AB=4，BC=$3\sqrt{2}$，设P的坐标为（x，0），代入比例式解得$x=\frac{3}{5}$或x=-4.5即可得到$P（\frac{3}{5}，0）$或P（-4.5，0）；
②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，在Rt△AFB中，∠BAF=45°，于是得到$sin∠BAF=\frac{BF}{AB}$，求得BF=$4×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=2\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{26}$，求得$sin∠ADB=\frac{BF}{BD}=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{26}}}=\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$，由于DM=$5\sqrt{2}-t$，DN=$\frac{{\sqrt{13}}}{5}t$，于是得到${S_{△MDN}}=\frac{1}{2}DM•NE$=$\frac{1}{2}（5\sqrt{2}-t）•\frac{2}{5}t$=$-\frac{1}{5}{t^2}+\sqrt{2}t=-\frac{1}{5}（{t^2}-5\sqrt{2}t）$=$-\frac{1}{5}{（t-\frac{{5\sqrt{2}}}{2}）^2}+\frac{5}{2}$，即可得到结果．

解答 解：（1）由题意知：$\left\{\begin{array}{l}{0=a-2+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴二次函数的表达式为y=-x²+2x+3；

（2）在y=-x²+2x+3中，令y=0，则-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴B（3，0），
由已知条件得直线BC的解析式为y=-x+3，
∵AD∥BC，
∴设直线AD的解析式为y=-x+b，
∴0=1+b，
∴b=-1，
∴直线AD的解析式为y=-x-1；

（3）①∵BC∥AD，
∴∠DAB=∠CBA，
∴只要当：$\frac{BC}{AD}=\frac{PB}{AB}$或$\frac{BC}{AB}=\frac{PB}{AD}$时，△PBC∽△ABD，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=-x-1}\end{array}\right.$得D（4，-5），
∴AD=$5\sqrt{2}$，AB=4，BC=$3\sqrt{2}$，
设P的坐标为（x，0），
即$\frac{{3\sqrt{2}}}{{5\sqrt{2}}}=\frac{3-x}{4}$或$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}=\frac{3-x}{{5\sqrt{2}}}$，
解得$x=\frac{3}{5}$或x=-4.5，
∴$P（\frac{3}{5}，0）$或P（-4.5，0），
②过点B作BF⊥AD于F，过点N作NE⊥AD于E，
在Rt△AFB中，∠BAF=45°，
∴$sin∠BAF=\frac{BF}{AB}$，
∴BF=$4×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=2\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{26}$，
∴$sin∠ADB=\frac{BF}{BD}=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{26}}}=\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$，
∵DM=$5\sqrt{2}-t$，DN=$\frac{{\sqrt{13}}}{5}t$，
又∵$sin∠ADB=\frac{NE}{DN}$，NE=$\frac{{\sqrt{13}}}{5}t$$•\frac{{2\sqrt{13}}}{13}=\frac{2}{5}t$，
∴${S_{△MDN}}=\frac{1}{2}DM•NE$=$\frac{1}{2}（5\sqrt{2}-t）•\frac{2}{5}t$=$-\frac{1}{5}{t^2}+\sqrt{2}t=-\frac{1}{5}（{t^2}-5\sqrt{2}t）$=$-\frac{1}{5}{（t-\frac{{5\sqrt{2}}}{2}）^2}+\frac{5}{2}$，
∴当$t=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$时，S_△MDN的最大值为$\frac{5}{2}$．

点评 本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法，锐角三角函数，最值的求法，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．