Question

6．如图，直线AB：y=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x+$\sqrt{3}$的图象与x轴、y轴交于A、B两点，直线上一动点P以1cm/s的速度由点A向终点B运动，设运动时间为t（s）．
（1）点A的坐标为（$\sqrt{2}$，0）；点B的坐标为（0，$\sqrt{3}$）；
（2）求OP的最短距离；
（3）是否存在t的值，使△OAP为等腰三角形？若存在，直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据y=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x+$\sqrt{3}$的图象与x轴、y轴交于A、B两点，于是令x=0，y=0，解方程即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AB的长，由三角形的面积公式得到OA•OB=AB•OP，代入数据即可得到结论；
（3）①根据平行线分线段成比例定理列比例式求得t，②根据AP=OA，求得t，③根据相似三角形的性质即可得到t．

解答 解：（1）在y=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$x+$\sqrt{3}$中，令x=0，得y=$\sqrt{3}$，y=0，得x=$\sqrt{2}$，
∴A的坐标为（$\sqrt{2}$，0），点B的坐标为（0，$\sqrt{3}$）；
故答案为：（$\sqrt{2}$，0），（0，$\sqrt{3}$）；

（2）当OP⊥AB时，OP的距离最短，
∵OA=$\sqrt{2}$，OB=$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$AB•OP，
∴OP=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$；

（3）①如图1，当OP=AP，过P作PC⊥OA于C，
∴AC=0C，
∴PC∥OB，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AC}{AO}$=$\frac{1}{2}$，
∴t=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
②当AP=OA时，
即t=$\sqrt{2}$，
③如图2，当OA=OP时，过O作OC⊥AB于C，
∴∠ACO=∠AOB=90°，
∵∠OAB=∠AOC，
∴△AOC∽△AOB，
∴$\frac{AO}{AB}=\frac{AC}{OA}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{AC}{\sqrt{2}}$，
∴AC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴AP=t=2AC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
综上所述：当t=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\sqrt{2}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$时，△OAP为等腰三角形．

点评 本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．