Question

如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，∠CBD=30°，则图中阴影部分的面积为

 

；
（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E若BC=12，tan∠CDA=

2

3

，求BE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；
（2）求得△ODC的面积和扇形OAD的面积，二者的差就是阴影部分的面积；
（3）根据切线的性质得到ED=EB，OE⊥BD，则∠ABD=∠OEB，得到tan∠CDA=tan∠OEB=

OB

BE

=

2

3

，易证Rt△CDO∽Rt△CBE，得到

CD

CB

=

OD

BE

=

OB

BE

=

2

3

，求得CD，然后在Rt△CBE中，运用勾股定理可计算出BE的长．

解答：（1）证明：连OD，OE，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，
又∵∠CDA=∠CBD，
而∠CBD=∠1，
∴∠1=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠DOA=2∠CBD=60°，
∴S_扇形OAD=

60π

360

=

π

6

，
在直角△OCD中，CD=OD•tan∠DOA=

3

，
则S_△ODC=

1

2

OD•CD=

3

2

，
∴S_影阴=

3

2

-

π

6

；
（3）∵∠CDA=∠CBD，tan∠CDA=

2

3

，
∴tan∠CBD=

2

3

，
∵∠ADB=90°，
∴

AD

DB

=

2

3

，
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴

CD

CB

=

OD

BE

=

OB

BE

=

2

3

，
∴CD=

2

3

×12=8，
∵tan∠OEB=

OB

BE

=

2

3

，
在Rt△CBE中，设BE=x，
∴（x+8）²=x²+12²，
解得x=5．
即BE的长为5．

点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．