Question

如图，⊙O中，AB是直径，BC是弦，弦ED⊥AB与点F，交BC于点G，延长ED到点P，使得PC=PG．
（1）求证：直线PC与⊙O相切；
（2）当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等边对等角可以证明∠OBC=∠OCB，∠PGC=∠PCG，进而根据直角三角形的两锐角互余即可证得∠PCG+∠BCF=90°，从而证明OF⊥PC即可证得；
（2）证明△OBG∽△GBF，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得．

解答：（1）证明：连接OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵PC=PG，
∴∠PGC=∠PCG，
∵∠PGC=∠BGF，
∴∠BGF=∠PCG，
∵ED⊥AB，
∴∠OBC+∠BGF=90°，
∴∠PCG+∠BCF=90°，即∠FCP=90°，则OF⊥PC，
∴直线PC是圆的切线；
（2）结论：CG²=BF•BO．
证明：连接OG，
则OG⊥BC，
∴∠OCP=∠BFG=90°，
∵∠B=∠B，
∴△OBG∽△GBF，
∴

OB

BG

=

BG

BF

，
∴BG²=OB•BF，
又∵BG=CG，
∴CG²=OB•BF．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．