Question

11．如图，已知矩形ABCD的一条边AD=8cm，点P在CD边上，AP=AB，PC=4cm，连结PB．点M从点P出发，沿PA方向匀速运动（点M与点P、A不重合）；点N同时从点B出发，沿线段AB的延长线匀速运动，连结MN交PB于点F．
（1）求AB的长；
（2）若点M的运动速度为1cm/s，点N的运动速度为2cm/s，△AMN的面积为S，点M和点N的运动时间为t，求S与t的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若点M和点N的运动速度相等，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

Answer 1

分析 （1）设AB=x，则AP=x，DP=x-4，在Rt△ADP中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）过M作MG⊥AN于G，则∠AGM=∠D=90°，证明△APD∽△MAG，得出对应边成比例求出MG=8-$\frac{4}{5}$t，由三角形面积即可得出S与t的关系式，再由二次函数的最值即可得出答案；
（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=$\frac{1}{2}$PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=$\frac{1}{2}$QB，再求出EF=$\frac{1}{2}$PB，由勾股定理求出PB，即可得出答案．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠D=90°，
设AB=x，则AP=x，DP=x-4，
在Rt△ADP中，由勾股定理得：8²+（x-4）²=x²，
解得：x=10，
∴AB=10；

（2）过M作MG⊥AN于G，则∠AGM=∠D=90°，
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠MAG，
∴△APD∽△MAG，
∴$\frac{MG}{AD}=\frac{AM}{PA}$，即$\frac{MG}{8}=\frac{10-t}{10}$，
解得：MG=8-$\frac{4}{5}$t，
∵AN=10+2t，
∴S=$\frac{1}{2}$AN•MG=$\frac{1}{2}$（10+2t）（8-$\frac{4}{5}$t）=-$\frac{4}{5}$（t-$\frac{5}{2}$）²+45，
∴t=$\frac{5}{2}$时，S取得最大值为45；

（3）线段EF的长度不发生变化；理由如下：
作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，
∵AP=AB，MQ∥AN
∴∠APB=∠ABP=∠MQP．
∴MP=MQ，
∵BN=PM，
∴BN=QM．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴EQ=$\frac{1}{2}$PQ．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠QFM=∠NFB}&{\;}\\{∠QMF=∠BNF}&{\;}\\{MQ=BN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MFQ≌△NFB（AAS）．
∴QF=$\frac{1}{2}$QB，
∴EF=EQ+QF=$\frac{1}{2}$PQ+$\frac{1}{2}$QB=$\frac{1}{2}$PB，
由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，
∴PB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$PB=2$\sqrt{5}$，
∴点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2$\sqrt{5}$．

点评 此题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、二次函数的最值等知识；本题综合性强，有一定难度．