Question

13．如图，O为半圆的圆心，直径AB=12，C是半圆上一点，OD⊥AC于点D，OD=3．
（1）求AC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理可知AD=DC，由OA=OB，推出BC=2OD=6，Z在Rt△ACB中，利用勾股定理求出AC．
（2）首先证明△OBC设等边三角形，推出∠AOC=120°，根据S_阴=S_扇形OAC-S_△AOC计算即可．

解答 解：（1）∵OD⊥AC，
∴AD=DC，∵AO=OB，
∴BC=2OD=6，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$．

（2）连接OC，∵OC=OB=BC=6，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴S_阴=S_扇形OAC-S_△AOC=$\frac{120•π•{6}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$•6$\sqrt{3}$•3=12π-9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查扇形的面积公式、垂径定理、勾股定理．三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方法求阴影部分面积，属于中考常考题型．