Question

3．如图，D为△ABC中边BC中点，E为CD上一点，将△ACE沿AE折叠时C与D重合，F为AB上一点，FB=FC，FC与AD、AE分别交于P、Q点，下列结论
①AE∥DF；②△APQ≌△DPF；
③AF=DF；④$\frac{AF}{CP}=\frac{2}{3}$．
其中正确的有①②④．

Answer 1

分析 ①正确．由DF⊥BC，AE⊥BC，即可推出DF∥AE．
②正确．只要证明DF=AQ即可解决问题．
③错误．如图2中，当∠AFQ设钝角是，AQ＞AF，即DF＞AF，故③错误．
④正确．由△AFP∽△CFA，可得AF²=FP•FC，时PF=PQ=a，则FQ=QC=2a，推出AF²=4a²，推出AF=2a，PC=3a，由此即可判断．

解答 解：∵FB=FC，D为△ABC中边BC中点，
∴DF⊥BC，
∵将△ACE沿AE折叠时C与D重合，
∴AE⊥BC，
∴AE∥DF；故①正确；
∵BD=CD，DE=CE，
∴DE=CE=$\frac{1}{2}$BD，
∵DF∥AE，
∴$\frac{DF}{AE}$=$\frac{BD}{BE}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{QE}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∴AE=$\frac{3}{2}$DF，QE=$\frac{1}{2}$DF，
∴$\frac{AE}{QE}$=3，∴QE=$\frac{1}{2}$AQ，
∴DF=AQ，
在△APQ与△DPF中，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，$\left\{\begin{array}{l}{∠QAP=∠FDP}\\{∠APQ=∠DPF}\\{DF=AQ}\end{array}\right.$，
∴△APQ≌△DPF，故②正确；
如图2中，当∠AFQ设钝角是，AQ＞AF，即DF＞AF，故③错误．
连接DQ，易证四边形AFDQ是平行四边形，
∴AF∥DQ，
∴∠FAP=∠ADQ，
∵∠ADC=∠ACD，∠QDC=∠QCE，
∴∠ADQ=∠ACF=∠FAP，
∵∠AFP=∠CFA，
∴△AFP∽△CFA，可得AF²=FP•FC，时PF=PQ=a，则FQ=QC=2a，
∴AF²=4a²，
∴AF=2a，PC=3a，
∴$\frac{AF}{CP}=\frac{2}{3}$，故④正确，
故答案为①②④．

点评 本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理、平行四边形的判定和性质．相似三角形的判定和性质等知识，本题的突破点设证明DF=AQ，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．