Question

如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC于E，G为BC上一点，且∠BCG=∠DCA，过G点作GH⊥CG交CB于H．
（1）求证：CD=CG；
（2）若AD=CG，求证：AB=AC+CE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）由AD⊥BD得到∠ADB=90°，而∠ACB=90°，∠AED=∠BEC，根据三角形内角和得∠CAD=∠DBC，再根据等角的余角相等得到∠BCG=∠DCA，然后利用“ASA”可判断△ADC≌△BCG，则CD=CG；
（2）延长EC到F使CF=CE，由△AGC≌△BCD得到AG=BD，由CG=BD可代换得到AG=CG，则∠GAC=∠GCA，而∠CGD=45°，所以∠GAC=22.5°，再利用AC⊥BC，CF=CE，得到△AEF为等腰三角形，于是∠FAC=∠EAC=22.5°，利用∠CAB=45°，∠ABC=45°可计算出∠FAB=67.5°，∠F=67.5°，得到∠F=∠FAB，所以AB=BF，而BF=BC+CF=AC+CE，即有AB=AC+CE，只要证出BH=CD即可．

解答：（1）解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠ACB=90°，∠AED=∠BEC，
∴∠CAD=∠DBH，
∵∠BCG=∠DCA，
∵在△ACD和△BGC中

∠DAC=∠DBC ∠DCA=∠BCG AC=BC

∴△ACD≌△BGC（ASA），
∴CD=CG；
（2）证明：延长EC到F使CF=CE，如图，
∵△AGC≌△BCD
∴AG=BD，
∵CG=BD，
∴AG=CG，
∴∠GAC=∠GCA，
∵△CDG为等腰直角三角形，
∴∠CGD=45°，
∴∠GAC=22.5°，
∵AC⊥BC，CF=CE，
∴△AEF为等腰三角形，
∴∠FAC=∠EAC=22.5°，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∵∠CAB=45°，∠ABC=45°，
∴∠FAB=22.5°+45°=67.5°，
∴∠F=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠F=∠FAB，
∴AB=BF，
而BF=BC+CF=AC+CE，
∴AB=AC+CE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．