Question

19．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
（1）试求A，B，C的坐标；
（2）将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD．
①求点D的坐标；
②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；
（3）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用y=0，x=0分别得出A，B，C的坐标；
（2）①利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标；
②利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形ADBC的形状；
（3）直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案．

解答 解：（1）当y=0时，0=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
解得：x₁=-1，x₂=4，
则A（-1，0），B（4，0），
当x=0时，y=2，
故C（0，2）；

（2）①过点D作DE⊥x轴于点E，
∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，
∴DE=2，AO=BE=1，OM=ME=1.5，
∴D（3，-2）；

②∵将△ABC绕AB中点M旋转180°，得到△BAD，
∴AC=BD，AD=BC，
∴四边形ADBC是平行四边形，
∵AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ACB是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∴四边形ADBC是矩形；

（3）由题意可得：BD=$\sqrt{5}$，AD=2$\sqrt{5}$，
则$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
当△BMP∽△ADB时，
$\frac{PM}{BM}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
可得：BM=2.5，
则PM=1.25，
故P（1.5，1.25），
当△BMP₁∽△ABD时，
P₁（1.5，-1.25），
当△BMP₂∽△BDA时，
可得：P₂（1.5，5），
当△BMP₃∽△BDA时，
可得：P₃（1.5，-5），
综上所述：点P的坐标为：（1.5，1.25），（1.5，-1.25），（1.5，5），（1.5，-5）．

点评 此题主要考查了二次函数的综合以及相似三角形的判定与性质等知识，正确分类讨论是解题关键．