Question

11．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2$\sqrt{3}$，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCE=90°，再根据垂径定理得到CD=BD，则OD垂直平分BC，所以EC=EB，接着证明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD=r-1，利用勾股定理得到（r-1）²+（$\sqrt{3}$）²=r²，解得r=2，再利用三角函数得到∠BOD=60°，则∠BOC=2∠BOD=120°，接着计算出BE=$\sqrt{3}$OB=2$\sqrt{3}$，
然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S_△OBE-S_扇形BOC进行计算即可．

解答 （1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
即OD垂直平分BC，
∴EC=EB，
在△OCE和△OBE中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{OE=OE}\\{EC=EB}\end{array}\right.$，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OD=r-1，
在Rt△OBD中，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴（r-1）²+（$\sqrt{3}$）²=r²，解得r=2，
∵tan∠BOD=$\frac{BD}{OD}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOC=2∠BOD=120°，
在Rt△OBE中，BE=$\sqrt{3}$OB=2$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积=S_{四边形OBEC}-S_扇形BOC
=2S_△OBE-S_扇形BOC
=2×$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{120•π•{2}^{2}}{360}$
=4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．

点评 本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了不规则图形的面积的计算方法．