Question

5．已知反比例函数$y=\frac{4}{x}$，作等腰Rt△OA₁B₁，使点B₁在反例函数的图象上，点A₁在x轴上，再作等腰Rt△A₁B₂A₂，使点B₂在反比例函数的图象上，点A₂在x轴上；…，再作等腰Rt△A₈B₉A₉，则OA₉=12．

Answer 1

分析 先求得OA₁=4，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质求得OA₂=4$\sqrt{2}$，0A₃=4$\sqrt{3}$，…得出规律，即可求得OA₉的值．

解答 解：∵反比例函数$y=\frac{4}{x}$，作等腰Rt△OA₁B₁，
∴B₁（2，2），
∴OA₁=4，
设B_n的纵坐标为y_n，
根据等腰直角三角形的性质：B₂（4+y₂，y₂），
∴y₂（y₂+4）=4，
解得y₂=2$\sqrt{2}$-2，
∴OA₂=4+2（2$\sqrt{2}$-2）=4$\sqrt{2}$，
B₃（4$\sqrt{2}$+y₃，y₃），
∴y₃（4$\sqrt{2}$+y₃）=4，
解得y₃=2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$，
∴OA₃=4$\sqrt{2}$+2（2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{3}$，
B₄（4$\sqrt{3}$+y₄，y₄），
∴y₄（4$\sqrt{3}$+y₄）=4，
解得y₄=4-2$\sqrt{3}$，
∴OA₄=4$\sqrt{3}$+2（4-2$\sqrt{3}$）=8=4$\sqrt{4}$，
…
OA_n=4$\sqrt{n}$，
∴OA₉=4$\sqrt{9}$=12，．
故答案为12．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，表示出B_n的坐标是解题的关键．