Question

17．牧马人某天要从马厩牵出马，先到草地边的某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，为了便于研究，以河边为x轴、草地边为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，马厩P的坐标为（2，-4），帐篷Q的坐标为（6，-2），请你帮他确定这一天的最短路线．
（1）请你作出最短路线并简要说明作法；
（2）求最短路线中草地边的牧马点M和河边饮水点N的坐标；
（3）求这个最短路线的长度．

Answer 1

分析 （1）如图，作点P关于y轴的对称点E，点Q关于x轴的对称点F，连接EF分别与x、y轴交于点N、M，此时PM+MN+NQ最小．
（2）根据E、F两点坐标求出直线EF的解析式，再分别令x=0，y=0求出点M、N的坐标．
（3）延长EP、FQ交于点H，在RT△EFH中利用勾股定理求出EF即可．

解答 解：（1）如图，作点P关于y轴的对称点E，点Q关于x轴的对称点F，连接EF分别与x、y轴交于点N、M．
∵PM=EM，NF=NQ，
∴PM+MN+NQEM+MN+NF=EF，
∴此时PM+MN+NQ最小（两点之间线段最短）．
（2）∵点E坐标（-2，-4），点F坐标（6，2），
∴最小EF的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$，
∴点M坐标（0，-$\frac{5}{2}$），点N坐标（$\frac{10}{3}$，0）．
（3）延长EP、FQ交于点H，
由（1）可知PM+MN+NQ的最小值=EF=$\sqrt{E{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10．

点评 本题考查最短问题、坐标与图形、待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理等知识，利用对称根据两点之间线段最短找到M、N的位置是解决问题的关键，学会利用函数解决点的坐标问题，求最小值时用转化的思想，利用勾股定理去解决，属于中考常考题型．