Question

1．如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是边AC上一动点，联结DE，过点D作DF⊥DE交边BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD到点G，使DG=DF，联结EF、AG，已知AB=10，BC=6，AC=8．
（1）求证：AC⊥AG；
（2）设AE=x，CF=y，求y与x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，由D是AB的中点，得到AD=BD，根据全等三角形的性质得到∠GAB=∠B，推出∠EAG=90°，于是得到结论；
（2）连接EG，根据勾股定理得到EF²=（8-x）²+y²，根据全等三角形的性质得到AG=BF，由勾股定理得到EG²=x²+（6-y）²，于是得到方程（8-x）²+y²=x²+（6-y）²，即可得到结论
（3）①当BF=DB时，6-y=5，列方程得到AE=$\frac{5}{2}$；②当DF=FB时，连接DC，过点D作DH⊥FB，垂足为点H，可得DF=FB=6-y，根据勾股定理得方程（6-y）²=4²+（3-y）²，求得y=$\frac{11}{6}$，于是得到$\frac{11}{6}$=$\frac{4x-7}{3}$求得AE=$\frac{25}{8}$．

解答 （1）证明：∵BC=6，AC=8，
∴BC²+AC²=36+64=100，
∵AB²=100，
∴BC²+AC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
在△ADG和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠ADG=∠BDF}\\{DG=DF}\end{array}\right.$
∴△ADG≌△BDF，
∴∠GAB=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∴∠CAB+∠GAB=90°，
∴∠EAG=90°，
即：AC⊥AG；

（2）连接EG，
∵AE=x，AC=8，
∴EC=8-x，
∵∠ACB=90°，
由勾股定理，得EF²=（8-x）²+y²，
∵△ADG≌△BDF，
∴AG=BF，
∵CF=y，BC=6，
∴AG=BF=6-y，
∵∠EAG=90°，
由勾股定理，得EG²=x²+（6-y）²，
∵DG=DF，DF⊥DE，
∴EF=EG，
∴（8-x）²+y²=x²+（6-y）²，
∴y=$\frac{4x-7}{3}$，定义域：$\frac{7}{4}$＜x＜$\frac{25}{4}$；

（3）①当BF=DB时，6-y=5，∴y=1，
∴1=$\frac{4x-7}{3}$，
∴x=$\frac{5}{2}$，
即AE=$\frac{5}{2}$；
②当DF=FB时，连接DC，过点D作DH⊥FB，垂足为点H，
可得DF=FB=6-y，
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴DC=DB=5，
∵DH⊥FB，BC=6，∴CH=HB=3，
∴FH=3-y，
∵DH⊥FB，
由勾股定理，得DH=4，
在Rt△DHF中，可得（6-y）²=4²+（3-y）²，
解得：y=$\frac{11}{6}$，
∴$\frac{11}{6}$=$\frac{4x-7}{3}$
解得x=$\frac{25}{8}$，即AE=$\frac{25}{8}$，
综上所述，AE的长度是$\frac{5}{2}$，$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．