题目内容

16．如图1，二次函数y=-x2+bx+c的图象过点A（3，0），B（0，4）两点，动点P从A出发，在线段AB上沿A→B的方向以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥y于点D，交抛物线于点C．设运动时间为t（秒）．
（1）求二次函数y=-x2+bx+c的表达式；
（2）连接BC，当t=$\frac{5}{6}$时，求△BCP的面积；
（3）如图2，动点P从A出发时，动点Q同时从O出发，在线段OA上沿O→A的方向以1个单位长度的速度运动．当点P与B重合时，P、Q两点同时停止运动，连接DQ，PQ，将△DPQ沿直线PC折叠得到△DPE．在运动过程中，设△DPE和△OAB重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系及t的取值范围．

分析 （1）直接将A、B两点的坐标代入列方程组解出即可；
（2）如图1，要想求△BCP的面积，必须求对应的底和高，即PC和BD；先求OD，再求BD，PC是利用点P和点C的横坐标求出，要注意符号；
（3）分两种情况讨论：①△DPE完全在△OAB中时，即当0≤t≤$\frac{15}{17}$时，如图2所示，重合部分的面积为S就是△DPE的面积；②△DPE有一部分在△OAB中时，当$\frac{15}{17}$＜t≤2.5时，如图4所示，△PDN就是重合部分的面积S．

解答 解：（1）把A（3，0），B（0，4）代入y=-x2+bx+c中得：
$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$   解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{5}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴二次函数y=-x2+bx+c的表达式为：y=-x2+$\frac{5}{3}$x+4；
（2）如图1，当t=$\frac{5}{6}$时，AP=2t，
∵PC∥x轴，
∴$\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{AP}$，
∴$\frac{4}{OD}=\frac{5}{2t}$，
∴OD=$\frac{8t}{5}$=$\frac{8}{5}$×$\frac{5}{6}$=$\frac{4}{3}$，
当y=$\frac{4}{3}$时，$\frac{4}{3}$=-x2+$\frac{5}{3}$x+4，
3x2-5x-8=0，
x1=-1，x2=$\frac{8}{3}$，
∴C（-1，$\frac{4}{3}$），
由$\frac{BD}{OB}=\frac{PD}{OA}$得$\frac{4-\frac{4}{3}}{4}=\frac{PD}{3}$，
则PD=2，
∴S△BCP=$\frac{1}{2}$×PC×BD=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{8}{3}$=4；
（3）如图3，
当点E在AB上时，
由（2）得OD=QM=ME=$\frac{8t}{5}$，
∴EQ=$\frac{16t}{5}$，
由折叠得：EQ⊥PD，则EQ∥y轴
∴$\frac{EQ}{OB}=\frac{AQ}{OA}$，
∴$\frac{\frac{16t}{5}}{4}=\frac{3-t}{3}$，
∴t=$\frac{15}{17}$，
同理得：PD=3-$\frac{6t}{5}$，
∴当0≤t≤$\frac{15}{17}$时，S=S△PDQ=$\frac{1}{2}$×PD×MQ=$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{6t}{5}$）×$\frac{8t}{5}$，
S=-$\frac{24}{25}$t2+$\frac{12}{5}$t；
当$\frac{15}{17}$＜t≤2.5时，
如图4，P′D′=3-$\frac{6t}{5}$，
点Q与点E关于直线P′C′对称，则Q（t，0）、E（t，$\frac{16t}{5}$），
∵AB的解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x+4，
D′E的解析式为：y=$\frac{8}{5}$x+$\frac{8}{5}$t，
则交点N（$\frac{15-6t}{11}$，$\frac{8t+24}{11}$），
∴S=S△P′D′N=$\frac{1}{2}$×P′D′×FN=$\frac{1}{2}$×（3-$\frac{6t}{5}$）（$\frac{8t+24}{11}$-$\frac{8t}{5}$），
∴S=$\frac{144}{275}$t2-$\frac{144}{55}$t+$\frac{36}{11}$．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，并能利用方程组求出两图象的交点，把方程和函数有机地结合在一起，使函数问题简单化；同时考查了分类讨论的思想，这一思想在二次函数中经常运用，要熟练掌握；本题还与相似结合，利用相似三角形对应边的比来表示线段的长．

练习册系列答案
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