Question

10．如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：y=ax²+bx+c经过点O，A，B三点
（1）当m=2时，a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，当m=3时，a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论；
（3）如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ的长度为2n，当△APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为a=-$\frac{1}{n}$；
（4）利用（2）（3）中的结论，求△AOB与△APQ的面积比．

Answer 1

分析 （1）由△AOB为等边三角形，AB=2m，得出点A，B坐标，再由点A，B，O在抛物线上建立方程组，得出结论，最后代m=2，m=3，求值即可；
（2）同（1）的方法得出结论
（3）由△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，设A（e，d+n），∴P（e-n，d），Q（e+n，d），建立方程组求解即可；
（4）由（2）（3）的结论得到m=$\sqrt{3}$n，再根据面积公式列出式子，代入化简即可．

解答 解：（1）如图1，

∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，
∴B（2m，0），
∵以OB为边向上作等边三角形AOB，
∴AM=$\sqrt{3}$m，OM=m，
∴A（m，$\sqrt{3}$m），
∵抛物线l：y=ax²+bx+c经过点O，A，B三点
∴$\left\{\begin{array}{l}{a×（2m）^{2}+2bm+c=0}\\{a{m}^{2}+bm+c=\sqrt{3}m}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{m}}\\{b=2\sqrt{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$
当m=2时，a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当m=3时，a=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）a=-$\frac{\sqrt{3}}{m}$
理由：如图1，∵点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，
∴B（2m，0），
∵以OB为边向上作等边三角形AOB，
∴AM=$\sqrt{3}$m，OM=m，
∴A（m，$\sqrt{3}$m），
∵抛物线l：y=ax²+bx+c经过点O，A，B三点
∴$\left\{\begin{array}{l}{a×（2m）^{2}+2bm+c=0}\\{a{m}^{2}+bm+c=\sqrt{3}m}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{m}}\\{b=2\sqrt{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$
∴a=-$\frac{\sqrt{3}}{m}$，
（3）如图2，

∵△APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，
设A（e，d+n），∴P（e-n，d），Q（e+n，d），
∵P，Q，A，O在抛物线l：y=ax²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a{e}^{2}+be+c=d+n}\\{a（{e-n）}^{2}+b（e-d）^{2}+c=d}\\{a（e+n）^{2}+b（e+n）^{2}+c=d}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a{e}^{2}+be=d+n①}\\{a（e-n）^{2}+b（e-n）=d②}\\{a（e+n）^{2}+b（e+n）=d③}\end{array}\right.$，
①-②化简得，2ae-an+b=1④，
①-③化简得，-2ae-an-b=1⑤，
④+⑤化简得，an=-1，
∴a=-$\frac{1}{n}$
故答案为a=-$\frac{1}{n}$，
（4）∵OB的长度为2m，AM=$\sqrt{3}$m，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB×AM=$\frac{1}{2}$×2m×$\sqrt{3}$m=$\sqrt{3}$m²，
由（3）有，AN=n
∵PQ的长度为2n，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$PQ×AN=$\frac{1}{2}$×2n×n=n²，
由（2）（3）有，a=-$\frac{\sqrt{3}}{m}$，a=-$\frac{1}{n}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{m}$=-$\frac{1}{n}$，
∴m=$\sqrt{3}$n，
∴$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△APQ}}$=$\frac{\sqrt{3}{m}^{2}}{{n}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}（\sqrt{3}n）^{2}}{{n}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{1}$，
∴△AOB与△APQ的面积比为3$\sqrt{3}$：1．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，方程组的解法，三角形面积的计算，解本题的关键是根据方程组找a与m，及a与n的关系．也是解本题的难点．