Question

16．如图，顶点M（0，-1）在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，连结AM，BM．
（1）求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？

Answer 1

分析 （1）由点A是直线y=x+1与x轴的交点可求出点A的坐标，将抛物线的解析式设成顶点式，然后把点A的坐标代入该解析式，就可解决问题；
（2）只需解直线与抛物线的解析式组成的方程组，然后解这个方程组就可解决问题；
（3）将平移后的抛物线的解析式设成顶点式，然后把y=x代入该解析式，得到关于x的一元二次方程，要使平移后的抛物线总有不动点，只需该一元二次方程的根的判别式大于等于0即可．

解答 解：∵点A是直线y=x+1与x轴的交点，
∴A（-1，0）．
设顶点为（0，-1）的抛物线的解析式为y=ax²-1，
∵点A（-1，0）在抛物线y=ax²-1上，
∴0=a-1，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-1；

（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
故点B的坐标为（2，3）；

（3）设平移后的抛物线的解析式为y=（x-m）²+2m，
把y=x代入y=（x-m）²+2m，得
x=（x-m）²+2m，
整理得，x²-（2m+1）x+m²+2m=0，
由题可得△=（2m+1）²-4×1×（m²+2m）=1-4m≥0，
解得m≤$\frac{1}{4}$．
故当m≤$\frac{1}{4}$时，平移后的抛物线总有不动点．

点评 本题主要考查了直线上点的坐标特征、运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的解析式的交点、根的判别式等知识，通常可将直线与抛物线的交点问题转化为一元二次方程解的问题．