Question

11．根据下列各式中的规律，解决问题：
∵1³+2³=1+8=9，（1+2）²=9，∴1³+2³=（1+2）²=9；
∵1³+2³+3³=1+8+27=36，（1+2+3）²=36，∴1³+2³+3³=（1+2+3）²=36；
…
（1）填空：1³+2³+3³+4³+5³=（1+2+3+4+5）²=225；
1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²=[$\frac{n（n+1）}{2}$]²（n为整数）；
（2）求1³+2³+…+49³+50³的值；
（3）求11³+12³+…+98³+99³的值．

Answer 1

分析 （1）仿照例题，代入数据求值；对应1+2+3+…+n来说，我们发现第一项和最后一项，第二项和倒数第二项…它们的和相等，即能得出1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，将其代入例题给定算式中即可得出结论；
（2）结合给定例题与（1）中的结论，代入数据即可求出结果；
（3）将原式补全，加上1³+2³+3³+…+10³再减去1³+2³+3³+…+10³，将数据代入（1）的结论中即可算出结果．

解答 解：（1）根据给定例子可知：
1³+2³+3³+4³+5³=（1+2+3+4+5）²=225；
1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+…+n）²=$[\frac{n（n+1）}{2}]^{2}$．
故答案为：1+2+3+4+5+6；225；1+2+3+…+n；$\frac{n（n+1）}{2}$．
（2）1³+2³+…+49³+50³=（1+2+3+…+50）²=$（\frac{50×51}{2}）^{2}$=1275²=1625625．
（3）11³+12³+…+98³+99³的=（1+2+3…+99）²-（1+2+3+…+10）²=$（\frac{99×100}{2}）^{2}$-$（\frac{10×11}{2}）^{2}$=4950²-55²=24499475．

点评 本题考查了数字的变化，解题的关键是根据给定例题以及数列求和找出1³+2³+3³+…+n³=$[\frac{n（n+1）}{2}]^{2}$．本题属于中档题，难度不大，但在数列求和处需做特殊说明，毕竟初中没有学到等差数列的求和公式．