Question

5．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC的延长线上，点E在BC的延长线上，DB=DE，∠FAB+∠F=180°，求证：EF=AD．

Answer 1

分析 在AD上取点G，使EG=ED，根据等腰三角形的性质得到∠EDG=∠EGD，EG=ED=BD，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=∠DCE，∠DBE=∠DEB，于是得到∠ABD=∠ABC+∠DBE=∠DCE+∠DEB=180°-∠EDG=180°-∠EGD=∠FGE，由已知条件和邻补角的定义得到，∠BAC=∠F，推出△ABD≌△FGE，根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：在AD上取点G，使EG=ED，
则∠EDG=∠EGD，EG=ED=BD，
∵AB=AC，BD=DE，
∴∠ABC=∠ACB=∠DCE，∠DBE=∠DEB，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBE=∠DCE+∠DEB=180°-∠EDG=180°-∠EGD=∠FGE，
∵∠FAB+∠F=180°，∠FAB+∠BAC=180°，
∴∠BAC=∠F，
在△ABD与△FGE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠FGE}\\{∠BAC=∠F}\\{BD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△FGE，
∴AD=EF．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．