Question

17．如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于D点，过点B作BE∥CD交AC的延长线于点E．
（1）求证：△BCE是等腰三角形；
（2）若AD=$\sqrt{3}$，BD=$\sqrt{2}$，求$\frac{AC}{CB}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据CD平分∠ACB，可知∠ACD=∠BCD；由BE∥CD，可求出△BCE是等腰三角形，CB=CE即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理以及BC=CE，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD．
又∵BE∥CD，
∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD．
∵∠ACD=∠BCD，
∴∠CBE=∠CEB．
∴CB=CE，即△BCE是等腰三角形．
（2）解：∵BE∥CD，
根据平行线分线段成比例定理得：$\frac{AC}{CE}=\frac{AD}{BD}$，
∵CB=CE，
∴$\frac{AC}{CB}=\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定和角平分线定理的证明；熟练掌握平行线分线段成比例定理，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．