Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0≤t≤2），连接PQ，以PQ为直径作⊙O．
（1）当t=0.5时，求△BPQ的面积；
（2）设⊙O的面积为y，求y与t的函数解析式，并直接写出y的值最小时t的值；
（3）若⊙O与Rt△ABC的一条边相切，求t的值．

Answer 1

分析 （1）过点P作PM⊥BC于点M，根据△BPM∽△BAC，可得PM=3t，BM=4t，然后得到S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BQ•PM=12t-6t²，代入当t=0.5时，求得S_△BPQ=4.5即可；
（2）表示出有关t的二次函数求得最小值是t的取值即可；
（3）分当⊙O与BC相切时、当⊙O与AB相切时当⊙O与AC相切时三种情况分类讨论即可确定正确的选项．

解答 解：（1）如图1，过点P作PM⊥BC于点M，
△BPM∽△BAC，可得PM=3t，BM=4t，S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BQ•PM=12t-6t²，
∴当t=0.5时，S_△BPQ=4.5；

（2）MQ=|8-8t|，PQ²=PM²+MQ²=（8-8t）²+（3t）²=73t²-128t+64，
∴$y=\frac{π}{4}P{Q^2}=\frac{73π}{4}{t^2}-32πt+16π$，
当t=$\frac{64}{73}$时，y的值最小．

（3）当⊙O与BC相切时，PQ⊥BC，△BPQ∽△BAC，
∴$\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}$，
∴$\frac{5t}{10}=\frac{8-4t}{8}$，
∴t₁=1，
当⊙O与AB相切时，PQ⊥AB，△BPQ∽△BCA
∴$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{BA}$，∴$\frac{5t}{8}=\frac{8-4t}{10}$，
∴t₂=$\frac{32}{41}$，
当⊙O与AC相切时，
如图2，过点O作OH⊥AC于点H，交PM于点N，
OH=ON+NH=$\frac{1}{2}$QM+MC=$\frac{1}{2}$（8t-8）+（8-4t）=4，
∴PQ=2OH=8，
∴73t²-128t+64=64
解得t₃=0，t₄=$\frac{128}{73}$，
综上所述，若⊙O与Rt△ABC的一条边相切，
t的值为1或$\frac{32}{41}$或0或$\frac{128}{73}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质及圆的综合知识；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键，此类题目为中考的热点考题之一，应加强训练．