Question

11．如图，△ABC中，∠ABC＞90°，tan∠BAC=$\frac{3}{4}$，BC=4，将三角形绕着点A旋转，点C落在直线AB上的点C′处，点B落在点B′处．若C、B、B′恰好在一直线上，则AB的长为$\frac{6\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 作B'M⊥AC于点M，作CN⊥AC于点N．则△BMB'∽△BNC，设B'M=3x，CN=3y，则AM=4x，AN=4y，即可利用y表示出BN的长，在直角△BNC中利用勾股定理求得y的值，进而求得x，得到AB的长．

解答 解：作B'M⊥AC于点M，作CN⊥AC于点N．则△BMB'∽△BNC．
∵∠B'AC=∠BAC，
∴tan∠B'AC=tan∠BAC=$\frac{B'M}{AM}$=$\frac{CN}{AN}$=$\frac{3}{4}$．
∴设B'M=3x，CN=3y，则AM=4x，AN=4y，
∴在直角△AB'M中，AB'=$\sqrt{A{M}^{2}+B'{M}^{2}}$=5x，
则AB=AB'=5x，
∴BM=x，
∵△BMB'∽△BNC，
∴$\frac{CN}{BN}$=$\frac{B'M}{BM}$=$\frac{3x}{x}$=3，
∴BN=$\frac{CN}{3}$=$\frac{3y}{3}$=y．
则5x+y=4y，
解得：x=$\frac{3}{5}$y．
又∵直角△BCN中，BN²+CN²=BC²
即y²+（3y）²=16，
解得：y=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
则x=$\frac{6\sqrt{10}}{25}$，AB=5x=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$．
故答案是：$\frac{6\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，正确理解旋转的性质，作出辅助线，得到x和y的关系是关键．