Question

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙C经过点O，交x轴的正半轴于点B（2，0），P是$\widehat{OwB}$上的一个动点，且∠OPB=30°．设P点坐标为（m，n）
（1）当n=2$\sqrt{3}$，求m的值；
（2）设图中阴影部分的面积为S，求S与n之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）试探索动点P在运动过程中，是否存在整点P（m，n）（横、纵坐标都为整数的点叫整点）？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得到∠BCO=2∠BPO=60°，则可判断△OCB为等边三角形，则OC=OB=2，作CF⊥OB于F，交$\widehat{OwB}$于E，如图，根据垂径定理得到OF=BF=1，则可根据勾股定理计算出CF=$\sqrt{3}$，于是得到C（1，$\sqrt{3}$），然后利用两点间的距离公式得到（1-m）²+（$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$）²=2²，再解方程即可得到即m的值；
（2）利用S=S_弓形OB+S_△POB=S_扇形BOC-S_△BOC+S_△PBC和扇形面积公式得到S═n+$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$，根据一次函数性质得n最大时，S最大，而当点P为$\widehat{OwB}$的中点时，n最大，易得n的最大值为2+$\sqrt{3}$，然后把n=2+$\sqrt{3}$代入解析式即可S的最大值；
（3）过C点作直径MN∥x轴，易得M（-1，$\sqrt{3}$），N（3，$\sqrt{3}$），则-1≤m≤3，由于当m=-1和3时，n=$\sqrt{3}$；n=0和2时，n=2$\sqrt{3}$；当n=1时，n=2+$\sqrt{3}$，即P点的横坐标为整数，纵坐标都不是整数，由此可判断动点P在运动过程中，不存在整点P（m，n）．

解答 解：（1）∵∠BCO=2∠BPO=2×30°=60°，
而CB=CO，
∴△OCB为等边三角形，
∴OC=OB=2
作CF⊥OB于F，交$\widehat{OwB}$于E，如图，则OF=BF=1，
∴CF=$\sqrt{O{C}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴C（1，$\sqrt{3}$），
∵CP=2，
∴（1-m）²+（$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$）²=2²，解得m=0或m=2，
即m的值为0或2；
（2）S=S_弓形OB+S_△POB
=S_扇形BOC-S_△BOC+S_△PBC
=$\frac{60•π•{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$•2•$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×2•n
=n+$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$
当点P为$\widehat{OwB}$的中点时，n最大，S最大，
即当n=2+$\sqrt{3}$，S的最大值=2+$\sqrt{3}$+$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$=2+$\frac{2}{3}$π；
（3）动点P在运动过程中，不存在整点P（m，n）．利用如下：
过C点作直径MN∥x轴，
∵MC=NC=2，
而C（1，$\sqrt{3}$），
∴M（-1，$\sqrt{3}$），N（3，$\sqrt{3}$），
∴-1≤m≤3，
∵当m=-1和3时，n=$\sqrt{3}$；n=0和2时，n=2$\sqrt{3}$；当n=1时，n=2+$\sqrt{3}$，
∴当P点的横坐标为整数时，纵坐标都不是整数，
∴动点P在运动过程中，不存在整点P（m，n）．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和等边三角形的性质；会利用勾股定理和两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形性质；会利用规则图形的面积的和差计算不规则图形的面积．