Question

16．如图，△CAB，△CDE都是等腰直角三角形，M是DB中点，求证：CM⊥AE．

Answer 1

分析 延长DC至F，使CF=CD，连接BF，延长AE交BF于N，由等腰直角三角形的性质得出CD=CE，AC=BC，∠ACB=∠DCE=90°，得出∠ECF=∠ACB，CE=CF，延长∠1=∠2，由SAS证明△ACE≌△BCF，得出∠3=∠4，由对顶角相等和三角形内角和定理求出∠ANB=∠ACB=90°，得出AN⊥BF，证出CM是△BDF的中位线，得出CM∥BF，即可得出结论．

解答 证明：延长DC至F，使CF=CD，连接BF，延长AE交BF于N，如图所示：
∵△CAB，△CDE都是等腰直角三角形，
∴CD=CE，AC=BC，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ECF=90°=∠ACB，CE=CF，
∴∠1=∠2，
在△ACE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠1=∠2}&{\;}\\{CE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠3=∠4，
∵∠5=∠6，
∴∠ANB=∠ACB=90°，
∴AN⊥BF，
∵M是DB中点，CF=CD，
∴CM是△BDF的中位线，
∴CM∥BF，
∴CM⊥AE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．