Question

6．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O与AD上的一点E作直线OE，交BA的延长线于点F．若AD=4，DC=3，AF=2，则AE的长是（　　）

• A． $\frac{7}{8}$
• B． $\frac{8}{5}$
• C． $\frac{8}{7}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 延长FO，交BC于点G．由平行四边形的性质得出OD=OB，AD∥BC，AB=DC=3，根据ASA证明△DOE≌△BOG，得出DE=BG．再由AE∥BG，得出△AEF∽△BGF，根据相似三角形对应边成比例得出$\frac{AE}{BG}$=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{2}{5}$，设AE=2x，则BG=5x，DE=BG=5x，根据AE+DE=AD=4，求出x=$\frac{4}{7}$，那么AE=2x=$\frac{8}{7}$．

解答 解：如图，延长FO，交BC于点G．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，AD∥BC，AB=DC=3，
∴∠EDO=∠GBO，又∠DOE=∠BOG，
∴△DOE≌△BOG（ASA）．
∴DE=BG．
∵AE∥BG，
∴△AEF∽△BGF，
∴$\frac{AE}{BG}$=$\frac{AF}{BF}$，即$\frac{AE}{BG}$=$\frac{2}{2+3}$=$\frac{2}{5}$，
设AE=2x，则BG=5x，
∴DE=BG=5x，
∵AE+DE=AD=4，
∴2x+5x=4，
∴x=$\frac{4}{7}$，
∴AE=2x=$\frac{8}{7}$．
故选C．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线构造全等三角形，是解题的关键．