Question

1．如图①，已知点A（4，4），P为x轴正半轴上一点，AQ⊥AP交y轴于Q．
（1）判断AP与AQ的大小．
（2）当点P在x轴正半轴上运动，点Q在y轴正半轴上时，①OP+OQ与②|OP-OQ|中哪个为定值，并求其值．
（3）当点P在x轴正半轴上运动，点Q在y轴负半轴上时，如图②，（2）中的哪个为定值，并求其值．

Answer 1

分析 （1）在图①中，作AM⊥OQ，AN⊥OP垂足分别为M，N，由△AMQ≌△ANP即可得到证明．
（2）利用（1）的结论，根据线段和差定义证明①是定值．
（3）根据△AMQ≌△ANP得AM=AN，MQ=PN，利用线段和差定义解决，可以证明②是定值．

解答 解：（1）在图①中，作AM⊥OQ，AN⊥OP垂足分别为M，N．
∵点A坐标（4，4），
∴OM=0N=AM=AN=4，
∵∠MAN=∠PAQ=90°，
∴∠MAQ=∠NAP，
在△AMQ和△ANP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAQ=∠NAP}\\{AM=AN}\\{∠AMQ=∠ANP=90°}\end{array}\right.$，
∴△AMQ≌△ANP，
∴AQ=AP．
（2）OP+OQ=8，是定值．理由如下：
由（1）可知，△AMQ≌△ANP，
∴QM=PN，
OP+OQ=（ON-PN）+（OM+QM）=2OM=8（定值）．
（3）|OP-OQ|=8是定值．理由如下：
在图②中，作AM⊥OQ，AN⊥OP垂足分别为M，N．
∵点A坐标（4，4），
∴OM=0N=AM=AN=4，
∵∠MAN=∠PAQ=90°，
∴∠MAQ=∠NAP，
在△AMQ和△ANP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAQ=∠NAP}\\{AM=AN}\\{∠AMQ=∠ANP=90°}\end{array}\right.$，
∴△AMQ≌△ANP，
∴AM=AN，MQ=PN，
∴|OP-OQ|=|（ON+PN）-（QM-OQM|=2OM=8（定值）．

点评 本题考查平面直角坐标系的有关知识、全等三角形的判定和性质、线段和差定义，构造全等三角形是解决问题的关键．