Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF=AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．

解答 解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°，
∴∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF=AP，
∴EF，AP的交点就是M点，
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵$\frac{1}{2}$AP×BC=$\frac{1}{2}$AB×AC，
∴AP×BC=AB×AC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵AB=6，AC=8，
∴10AP=6×8，
∴AP=$\frac{24}{5}$
∴AM=$\frac{12}{5}$，
故答案为：$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．