Question

如图，O为直线AB与直线CF的交点，∠BOC=α．
（1）如图1所示，若α=40°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°，求∠EOF的度数；
（2）如图2所示，若∠AOD=

1

4

∠AOC，∠DOE=45°，试求∠EOF的度数；（注意：∠BOC=α）
（3）如图3所示，若∠AOD=

1

n

∠AOC，∠DOE=

180°

n

，n≥2，且n为正整数，猜想∠EOF与α的数量关系是

 

（直接写出结果，不要求写过程）

Answer 1

考点：对顶角、邻补角,角的计算

专题：

分析：（1）先求出∠AOF=∠BOC=40°，再求出∠AOD=

1

2

∠AOC=70°，∠AOE=20°，即可求出∠EOF=20°；
（2）设∠AOD为x，则∠AOC=4x，由∠AOD+∠BOC=180°，得出x=45°-

α

4

，即可得出∠EOF=180°-∠DOE-∠COD=

3

4

α；
（3）设∠AOD为x，则∠AOC=nx，根据∠AOD+∠BOC=180°，列出方程：nx+α=180°，求出x，再由对顶角求出∠AOF=∠BOC=α，求出∠AOE=∠DOE-x═

α

n

，即可得出结论∠EOF=

(n-1)α

n

．

解答：解：（1）∵α=40°，
∴∠AOC=180°-40°=140°，∠AOF=∠BOC=40°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=

1

2

∠AOC=70°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=90°-70°=20°，
∴∠EOF=40°-20°=20°；
（2）设∠AOD为x，则∠AOC=4x，
∵∠AOD+∠BOC=180°，
∴4x+α=180°，
∴x=45°-

α

4

，
∴∠COD=3x=135°-

3

4

α，
∴∠EOF=180°-∠DOE-∠COD=180°-45°-（135°-

3

4

α）=

3

4

α；
（3）∠EOF与α的数量关系为：∠EOF=

(n-1)α

n

；
设∠AOD为x，则∠AOC=nx，
∵∠AOD+∠BOC=180°，
∴nx+α=180°，
∴x=

180°

n

-

α

n

，
∵∠AOF=∠BOC=α，∠AOE=∠DOE-x=

180°

n

-（

180°

n

-

α

n

）=

α

n

，
∴∠EOF=α-

α

n

=

(n-1)α

n

故答案为：∠EOF=

(n-1)α

n

．

点评：本题考查了对顶角、邻补角以及角平分线的定义、角的计算；弄清各个角之间的关系，熟练掌握角的计算是解题的关键．