Question

3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O，作∠ACB的平分线与⊙O交于点D，连接BD，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母；
（2）在你按（1）中要求所作的图中，若AC=8，BC=6，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）作AB的垂直平分线得到AB的中点O，再以O点为圆心，OA为半径作⊙O，然后作∠ACB的平分线交⊙O于点D；
（2）先利用勾股定理计算出AB=10，再利用圆周角定理得到∠ADB=90°，∠ACD=∠BCD=∠ABD=∠BAD=45°，则△ADB为等腰直角三角形，于是得到BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）如图，⊙O和CD为所作；

（2）连接AD，如图，在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠ACB=90°，
∴AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．