题目内容
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如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为R．已知BC=a，AC=b，AB=c．（1）过点B作⊙O的直径BD，连接CD，若a=3，CD=4，请直接写出sinD的值，并求$\frac{a}{sinA}$-2R的值．
（2）类比（1）的解答过程，证明：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sin∠ABC}$．
（3）由上述结论猜想在△ABC$；\\;中$中，a，b，c与三个内角的正弦函数值之间的关系．
分析 （1）由圆周角定理得出∠BCD=90°，∠A=∠D，在Rt△BCD中，由三角函数定义得出sinD=$\frac{BC}{BD}$=$\frac{a}{2R}$，得出$\frac{a}{sinD}$=2R，因此$\frac{a}{sinA}$=2R，代入所求，即可得出答案；
（2）由（1）得：$\frac{a}{sinA}$=2R，同理：$\frac{b}{sin∠ABC}$=2R，即可得出结论．
（3）由（1）得：$\frac{a}{sinA}$=2R，同理：$\frac{b}{sinB}$=2R，$\frac{c}{sinC}$=2R，即可得出结论．
解答 （1）解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
在Rt△BCD中，sinD=$\frac{BC}{BD}$=$\frac{a}{2R}$，
∴$\frac{a}{sinD}$=2R，
∵∠A=∠D，
∴sinA=sinD，
∴$\frac{a}{sinA}$=2R，
∴$\frac{a}{sinA}$-2R=2R-2R=0；
（2）证明：由（1）得：$\frac{a}{sinA}$=2R，
同理：$\frac{b}{sin∠ABC}$=2R，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sin∠ABC}$．
（3）解：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$；理由如下：
由（1）得：$\frac{a}{sinA}$=2R，同理：$\frac{b}{sinB}$=2R，$\frac{c}{sinC}$=2R，
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$．
点评 本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、三角函数的定义以及圆的性质；熟练掌握圆周角定理和三角函数定义是解决问题的关键．
名校课堂系列答案
如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1→A1D1→…，白甲壳虫爬行的路线是AB→BB1→…，并且都遵循如下规则：所爬行的第n+2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）．那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2013条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是（ ）| A． | 0 | B． | 1 | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\sqrt{2}$ |
| A． | “打开电视，正在播放新闻节目”是随机事件 | |
| B． | 为了解某种节能灯的使用寿命，选择全面调查 | |
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| D． | 2016年我市有5.6万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这5.6万名考生的数学成绩，从中抽取200名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是这200名考生的数学成绩 |
把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（ ）| A． | x＞4，x≤1 | B． | x＜4，x≥-1 | C． | x＞4，x＞-1 | D． | x≤4，x＞-1 |
如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为AD的中点，F为BC边上一动点，设BF=t（0≤t≤2），线段EF的垂直平分线GH分别交边CD，AB于点G，H，过E做EM⊥BC于点M，过G作GN⊥AB于点N．
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